让课堂更深刻，让学生的学习更有深度 ——以“三角形的认识”为例

让课堂更深刻，让学生的学习更有深度——以“三角形的认识”为例安镇实验小学   董旭【摘要】：“三角形的认识”是苏教版《义务教育教科书·数学》四年级下册的内容，主要教学目标有“认识并掌握三角形的基本特征”、“认识三角形的底和高”、“能正确地测量或画出三角形的高（高在三角形内）”。三角形的高”的概念是“三角形的认识”中非常重要的一个内容，对于今后学习三角形的面积，梯形的高和梯形的面积等知识的重要性不言而喻。但学生对于“三角形的高”却很难理解。特别是“从顶点出发”“与底垂直”等的内涵不易内化。小学生在此之前对三角形的认识中并没有特别强调“顶点”和“底”等概念。因此，如何让学生满怀探究的欲望，积极参与新的学习，深度地对三角形的认识进行学习理解，是我备这节课时一直思考的问题。【关键词】：深度学习   三角形    三角形的高【教学片断一】深度提炼三角形的概念。1．深度感知出示“试一试”：如图，以A、B、C这3个点作为顶点（这3个点在一条直线上），可以画出一个三角形吗？（每个方格边长1cm）生：以A、B、C这3个点作为顶点，不可以画出一个三角形。师：为什么？生：因为它们连起来的线段重合了。生：因为A、B、C这3个点在一条直线上。小结：我们发现，方格纸上的3个点在一条直线上，就不能连接成三角形。2. 深度体验师：怎么办呢？生：移动A点。生：移动A、B、C任意一个点的位置，使它们不在一条直线上。师：是的，如果只移动B点，你觉得可以怎么移?请三名同学上台尝试移点，并连接成三角形。（见下图）师：还能移到其它地方吗？移得完吗？生：能！移不完！师：看来怎样的3个点可以画出三角形？生：不在一条直线上的3个点可以围成一个三角形。生：围成三角形的3个点不能在一条直线上。小结：是的，不在一条直线上的3个点，都可以围成一个三角形。而3个点在一条直线上，就不能围成三角形。3．深度辨析师：观察紫色和蓝色两个三角形，它们有什么相同的地方呢？生：都是三角形。生：都有AC边。师：那它们又有什么不同的地方呢？生：形状不同。生：B点的位置不同。生：它们的高度不同。师：蓝色三角形顶点B到AC边的高度是多少呢？你是怎么看出来的？生：顶点B到AC边的高度是4cm，从顶点往底边作一条垂直线段，数一数，就是它的高度。师：你真棒！那么紫色三角形的顶点B到AC边的高度呢？生：3cm。师：红色三角形呢？生：2cm。小结：是的，从这个顶点B到AC边的距离就是这个顶点B到AC边的高度。教学思考：这题是教材的“试一试”，原题要求是：“方格纸上有4个点，从这4个点中任选3个作为顶点，都能画一个三角形吗？你有什么发现？”原题的设计意图重在引导学生通过画三角形的活动，初步体会到三角形的3个顶点不能在同一条直线上。在感知、体验、辨析中找寻共同特征与提炼共同属性是对学生深度学习的培养过程。在“能”与“不能”之间辨析、分析、提炼怎样的三个点才能围成一个三角形的过程，就是以疑为动因、因疑得趣、由疑生思的深度学习过程，展现的是学生真实思维的状态。最后组织学生聚焦辨析“围成的3个三角形的异同点”，让学生在直观形象和动态变化中感受“高度”的存在，“高”的表象也就初步“站”在了孩子的头脑里了。这一任务情境具有一定的挑战性和开放性，从空间知觉、空间表象到空间想象的生长是顺其自然的，学生的学习变得更为主动，深度的学习体验自然也就会发生。【教学片断二】深度抽象“高”的概念１．实物中引出出示例题2：人字梁实物图。师：这是屋顶的人字梁，要测量它的高度，可以量哪一条线段呢？生：中间的一条。师：它有什么特点？生：它与下面的边互相垂直。生：它最长。生：它从顶点开始的。指出：要测量三角形人字梁的高度，如果画出这个三角形，人字梁的高度就是上面顶点到它对边的距离，人字梁的高就是它所在三角形的高。２．抽象中认识师：是的，我们一起来看一下，什么是三角形的高和底。出示：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。师：你觉得这句话中哪几点比较重要？生：我觉得顶点比较重要。师：三角形有几个顶点？生：我觉得对边比较重要。师：顶点A的对边是哪条？顶点B呢？线段AB是哪个顶点的对边？生：我觉得垂直线段比较重要。师：说明我们的高和底是互相垂直的。边电脑出示高，边师生互动交流：与线段BC对应的顶点A到线段BC的垂直线段，这就是它的高。与线段AC对应的顶点B到线段AC的垂直线段，这也是高。与线段AB对应的顶点C到线段AB的垂直线段，这也是高。所以，在这个三角形中，有3组底和高。教学反思：在第一部分的数学化过程中，学生已经具体地触摸到了“高度”，“高”的表象也已经初步具备，接下来的认识还是需要还原到生活世界。一方面，教学中根据学生的实际需求，以学生为主体，以自觉性、选择性、互动性为特征的学习。在具体的教学过程中，教师有效地引导学生进行自主探究学习，学生的知识得到增强，能力得到提高，从而形成一个“教学相长”的良性循环，以此来培养学生深度学习的能力；另一方面，生活是数学理解的根，于是就有了这里第二部分基于教材的辩证性实施。学生生活的世界和所接触的事物处处都有数学。数学学习源于生活，用于生活。现实世界中有着丰富多样、好玩有趣的各种素材，学生的日常生活中已经积累了很多图形认识的经验。因此，从学生身边熟悉的事物入手，引导学生认识图形。将图形的认识与已有的经验建立起联系，帮助学生更好地调用各种感官经验，建立图形表象。从常见的人字梁中直觉地引出它所在三角形的高度，再逐步抽象出三角形的高和底的定义，这又是一次新的数学化过程。之后，进一步追问定义中的关键要素，让学生自主发现顶点与它对边的对应关系以及底和对应高的位置关系，数学化之后的适度形式化，使“高”的概念“站”得清晰、合理、全面、深刻了，学生的深度学习自然也就达成了。【教学片断三】巩固练习：深化“高”的概念1.说一说：下面每个三角形对应的底和高分别是多少厘米。（单位：厘米） 学生交流后小结：从与底相对的顶点到底的垂直线段，就是三角形的一条高。这条高和底是对应的，是这条底上的高，和底的位置关系是互相垂直的。2.画一画（1）尝试练习师：你能画出这个三角形的高吗？学生独立尝试画高后，全班展示交流：谁来展示，并说一说是怎样画的。师：同学们都画得很好，再一起来看电脑老师是怎么画高的。（出示微课）师：现在，谁愿意上来给老师黑板上的三角形画个高。一生板画，师生一起小结：先重合，再对齐，最后画线。（板书：一重合；二对齐；三画线）师：现在，是不是对画高有了更充分的认识？把刚才画的高修改一下吧。（2）基础练习出示：画出每个三角形指定底边上的高。 学生独立完成后，指名上台投影展示交流。重点交流：第三副有一个角是直角的三角形，出示学生的错误的画法。师：这种画法对吗？为什么？ 生：图1的高没有从顶点开始画。生：图2的高和底不是对应的。生：图3的高和底没有互相垂直。师：像这样有一个角是直角的三角形，组成直角的两条边是互相垂直的，如果用其中一条边作底，另一条直角边就是三角形的高；如果用另一条边作底，那么这条就是三角形的高。师：如果用这一条作底（指向斜边），那么它的高又在哪呢？指名学生上台比划。小结：像这样有一个角是直角的三角形也有3组底和高。（3）拓展练习出示：请在方格纸上，以这条5厘米的线段为底，画一个高3厘米的三角形。（方格边长为1cm）师：你还能画出其它不同的底是5cm、高是3cm的三角形吗？看一看谁画的最多！学生画三角形后交流。生：我画出5个。生：我画出8个。生：我画出12个。……投影展示画出最多三角形的作品。师：除了这些，还有其它的吗？学生上台直接在投影上补充。  师：还有吗？生：相邻的两个点中间找个点作为顶点，也可以和下面的底连接成三角形。师：还有吗？生：往下画！生：在下面距离底边3cm的地方也可以！学生边说边上台画出三角形。师：像这样的三角形能画多少个？生：无数个！  小结：只要顶点到这条底边的距离是3cm，那么这个顶点到这条底边的高就是3cm。师：这些三角形的底都是5cm，高都是3cm，那么它们的形状一定相同吗？生：不一定！小结：底和高相等的三角形，形状不一定相同。教学反思：第一个“说一说”的练习是对概念的基本巩固，第二个“画一画”的练习设计由浅入深，层层递进，让学生深度的学习。尝试练习，先让学生独立尝试画高并交流画法，再借助微课的形式让学生自觉调整、规范头脑中的已有认知经验，高的概念就“站”得更清晰了，这也是深度学习的体现。基础练习，旨在巩固画高的技能，在画高的动作练习中进一步巩固高的概念，使高“站”得更合理、更全面。其中，第三个三角形有1个角是直角，画错的同学最多。教师及时抓住难点引导学生合理思考：展示不同画法，让学生观察比较，在辨析中体验数学概念的严谨性和确定性，积累认识图形的经验，发展空间观念，从而达到深度学习。拓展练习，这里我对教材稍作改变。把底的位置确定后，再让学生画底是5cm、高是3cm的三角形，最后展示画得最多的作品，追问“你还能画出其他的三角形吗”，引导发现：只要一个顶点到底边的距离是3cm，这个顶点到这条底边的高就是3cm，这样的顶点可以找到无数个，所以可以画出无数个三角形。，让学生展开想象的翅膀，体会三角形的底边和高确定时，顶点可以在与底边距离相等的平行线上移动，增强思维的灵活性。让学生展开充分的想象，体会底5厘米、高3厘米的三角形形状可能是多样的，初步感悟等底等高的三角形的特点。每一次想象之后的交流都丰富了学生对图形特征的认识。这样的精巧设计，让学生的学习更有深度。回顾以上认识三角形高的学习过程，不难发现：去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里、由尝试到规范的概念建构过程，从空间知觉、空间表象到空间想象的空间观念建构过程，都是一步一印，又是顺其自然。就这样，让学生学习得更清晰、更全面、更合理、也更有深度了 【参考文献】：[1] 高敏.疑趣相融，相得益彰.小学教学参考，2019.11.[2] 赵劲松.站在学生立场，明晰问题导向.小学数学教师，2019年06月.[3] 张小燕.知识与方法并重，操作与思维同行.小学数学教育.2018.7-8.[4] 张雪.“图形的认识”教学策略研究.科研教育2019年10月1日总第408期.